Teil der Schweizer Weltcup-Gruppe von Swiss-Ski. Juniorenweltmeister im Super-G, Vize-Juniorenweltmeister in der Abfahrt, zudem Europacupsieger in der Abfahrt und von der Schweizer Sporthilfe als Nachwuchssportler des Jahres 2012 ausgezeichnet. Die Weltcuppremiere erfolgte beim Weltcupfinale in Schladming 2012, seit jeher 7 Plätze in den Top 15 sowie 26 Plätze in den Top 30 des alpinen Skiweltcups. 

Im Mai 2010 wurde Weber durch Erfolge wie den Gewinn des Junioren-Schweizermeistertitels mit Startnummer 95 ins C-Kader von Swiss-Ski aufgenommen. In der Saison 2010/11 schloss er an der Junioren-Weltmeisterschaft mit dem 9. Rang in der Abfahrt sowie dem 17. Rang im Super-G ab. In der darauffolgenden Saison fuhr er am 8. März 2012 das erste Mal in einer Europacup-Abfahrt auf das Podest und wurde Zweiter in Sarntal. An der Junioren-Weltmeisterschaft in Roccaraso fuhr er am ersten Wettkampftag in der Abfahrt auf den zweiten Platz, einen Tag später, am 3. März 2012, gewann er den Juniorenweltmeistertitel im Super-G. Mit diesem Titel holte er sich seinen ersten Startplatz im Weltcup. Am 15. März 2012 feierte er sein Weltcup-Debüt beim Weltcup-Finale in Schladming, wo er 22. im Super-G wurde. Weber holte sich in derselben Saison noch den Vize-Schweizermeistertitel bei der Elite in der Super-Kombination. Er stieg nach dieser Saison vom C- in das B-Kader von Swiss-Ski auf.

Am 10. Januar 2013 feierte Weber seinen ersten Europacupsieg in der Abfahrt von Wengen. Mit zwei weiteren Podestplätzen sicherte er sich den Gewinn der Abfahrtswertung mit einem Vorsprung von 148 Punkten auf den zweitplatzierten. Im April 2013 wurde er von der Stiftung Schweizer Sporthilfe als Nachwuchssportler des Jahres geehrt, was die bedeutendste Auszeichnung im Nachwuchssport in der Schweiz ist.

Die Saison 2013/2014 musste er verletzungsbedingt abbrechen, da er am 26. Februar 2014 an den Juniorenweltmeisterschaften gestürzt ist und eine Luxation des Ellenbogengelenks sowie Prellungen erlitt. Trotzdem beendete er die Abfahrtswertung noch auf dem 5. Schlussrang, wobei noch zwei Rennen auf dem Programm standen. Für Aufsehen sorgte er in dieser Saison an der verkürzten Lauberhornabfahrt in Wengen: Als zweitjüngster Fahrer lag er bei der letzten Zwischenzeit auf dem 18. Rang, schied dann aber im Ziel-S aus. Weber blieb in dieser Saison weiter ohne Weltcuppunkte.

Am 28. Dezember 2014 gewann Weber die ersten Weltcuppunkte, als er in der Abfahrt von Santa Caterina Valfurva überraschend auf den 10. Platz fuhr. Dieses Ergebnis erzielte er beim zweiten Versuch, da er während seiner ersten Fahrt nach rund 50 Sekunden abgewunken wurde und nochmals zum Start hinaufgefahren werden musste. Einige Wochen später holte er sich am 22. Februar 2015 in Saalbach mit dem 25. Platz die ersten Weltcup-Punkte im Super-G.